日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 zP`8U  
@QYG `Dn  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. I:l}{b GA  
BC|ks7\zu  
　　1、三角函数本质： :Qev(a\*k  
E]%/hFIN  
　　三角函数的本质来源于定义 Zp%:]vpcQ  
Iaf -t  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 j`AO%+C  
C Cx@`3  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 +: |2!  
9ye/Ac2Ee  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： "r^_:LFh?w  
WH 4D0|h}  
　　推导： 7:L]t"is  
Ma(^-s$q  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 >jXm FfiS  
;aJ{|{WD  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) vUi4'*8j  
-1"R*>  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) X(6=TQql  
 ^<g{  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 dg+$x:*/+  
SE>&]D^  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Vys?wkn4  
WRm!Fc  
　　[1] 0b+A-;  
.Nj3~"O  
　　两角和公式 9uG#! .<  
qaNtNoJOV=  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 9Tq,Vya`  
/BE~LQi_  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  aY'%<^B  
m+!$?5n9f  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB x#Sg]Z=  
fR1vb$xG  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB (ij3nY":  
j>3|r*"Oo  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) n'@apC  
6Se[R}Uj.  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) NI7W^ 5|j  
.9K`vx=R  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  "('m   
v/!If)T  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) cR~tV '\  
z0V*C@:$  
倍角公式 VVgo_R02g  
O[9(:[DUNb  
　　Sin2A=2SinA•CosA %C{\ m</  
B/ .>RnN(8  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 >9CNN|''  
[uc#n #y=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） qvoN7#  
0 z(U9Qf  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ;MF <-  
t%xY\hA =  
三倍角公式 Q'1hr5tJ  
X2&.B8 4Y  
　　 =#ww>PB  
pEyH6r? RE  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) e uFq qu  
Dc9Wr1 f  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Ph;qKf  
hN7j[R6G  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) %kT`5jd  
.qB U ?%  
三倍角公式推导 rmr2?{689e  
ffGD+S-$<  
　　sin3a s8tTV2^b  
 _\W cjq  
　　=sin(2a+a) d1L0<S  
^ >k5NC  
　　=sin2acosa+cos2asina QyxLZR'l  
5za7Ea7  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Cby6 } 1  
`g5{ Zxn  
　　=3sina-4sin³a az^3[7*  
qfOLF  
　　cos3a N - By@  
3=Z*"(UX^{  
　　=cos(2a+a) KL.O@2m  
`L4I#sGL  
　　=cos2acosa-sin2asina \N[ P;  
77& 3)"  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 1p~84+  
<Jiv*z3  
　　=4cos³a-3cosa AnA(6]|U  
0k Fj  
　　sin3a=3sina-4sin³a )CHche\&;T  
_2P424`P  
　　=4sina(3/4-sin²a) l'+|;NJ  
H NF1'*/i  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] K=0t[soU  
0xr+;q/^*  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) (/"Y0b`ji  
T;Z#o8qPc  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) wGPnUI_/$_  
9 1d/ 7  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] t &5{[<q  
^H{(;-  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^1zp/NWa  
_P_kJxXsIa  
　　cos3a=4cos³a-3cosa =%$"j~9!2  
NR9Rq8/  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 8IZG.9&DnD  
X<!+Ik:g  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] agyj8H6  
<yQ O   
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) QrIxj/b4  
UL%UB![GM  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 9+i,`C(z  
tYbK&GJ|r  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} h*,GSVZ  
,"oZtM7(  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) L"3DilP  
B&XO`kZe"I  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] I_qXl~R?  
yBG1, : a  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] R|\QVYV  
M:%5P\[(E  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 5 JZw  
SD{7umT  
　　上述两式相比可得 ~sXj3?%   
d Wj/KB:  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) pzt/baPz  
',Y"gkN:  
半角公式 (ayO!:$  
=RIKG@h  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); z_%tye9-  
#f[xVd{  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. o_J{<," >A  
1RQq.x~  
和差化积 pVdi-VL  
& VB!cKb  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] r%UzjMD  
r b r]  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 7u{>8h  
c Z&b@t  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] !+J0 sl  
!Ir9bPXA  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] KUvG*/}N  
Q6%i0b{  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) j l+(p  
Tdt+ 0'@G  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) (tLw)S q.  
tY@{Vo`  
积化和差 _79 }  
 7rq"J  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] m`Z3-   
]MU?Ll,  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ($z+ EBC  
zNq E2"  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] d} 9\M!^K  
Zgf"5]S>  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] M]i4iE a:  
S=)xzC%?  
诱导公式 O/?<iy'  
y<j@!\J  
　　sin(-α) = -sinα T_vb+$*  
+aBq(>(9E  
　　cos(-α) = cosα sA31f< SB  
= !pKd  
　　sin(π/2-α) = cosα nSM 6fRM2  
y Q [<w0f  
　　cos(π/2-α) = sinα AgA9B4*N  
u T7  
　　sin(π/2+α) = cosα }>MpBW;a  
] E[p  
　　cos(π/2+α) = -sinα ilc!)=LT  
S+OKDQY.  
　　sin(π-α) = sinα QIQXG|T~  
m(0 O@A-  
　　cos(π-α) = -cosα $_467e0\]  
,}Vj Gn  
　　sin(π+α) = -sinα ,#_V 6w  
`JZW{? *  
　　cos(π+α) = -cosα NaOCSY  
7!T P`WD  
　　tanA= sinA/cosA FSish|"I  
auD:>  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Gavm2 FTU)  
~1bZ!*x  
　　tan（π/2－α）＝cotα /' b[`q  
X+/=22~<  
　　tan（π－α）＝－tanα &FsL$7o  
[Px1s"R^  
　　tan（π＋α）＝tanα i05,7.+)H  
lCBFueL#  
万能公式 `xoCl>Xn  
3zN}1-747K  
　　 Ff_S^{  
N6<Uv8s_m%  
其它公式 N STsSq/  
N\^K,g&':  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Ql/2S!/  
[43V q{  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ynfkg<w+  
{J h? 4*  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ~z#.s8 rB  
Qw?o(M4  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 FENS{sn  
Vnz 69 HO  
　　对于任意非直角三角形,总有 ahwYePKV+  
q7Pg}h;  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @K ;|#-JT  
:{E`%aY{  
　　证: JPa#}~d  
_AI:R:  
　　A+B=π-C 5g,h~-z&  
>O 25  
　　tan(A+B)=tan(π-C) `Q25V/  
l;9Ezq$, y  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) a\}/-fU  
irv7K6&%B  
　　整理可得 ,kT%oU(q6  
%x"M0T74xz  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Ib<^H_gB  
Y$y(#<H  
　　得证 iX*d[@cb<  
zk~IL|{?t  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ]KpT~yO;%3  
vuW1\r$t  
其他非重点三角函数 !]Gi:uTt7  
s>8 b['l  
　　csc(a) = 1/sin(a) #lf 7#Nyn  
l7be!Gx+I  
　　sec(a) = 1/cos(a) W/.="Y_^  
IoyZB'  
　　 a,t)&Z2b  
-$Zx2:  
双曲函数 2p+bAq~1 6  
!0Kl`#q  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Ik #8t0L  
f!7V$H&-M  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 JGEi4G -  
HI Le{  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) RZMaRm;  
Zm2>&+  
　　公式一： d`x*6{N  
wQO[N~  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： xEdi\t'~  
r!*N:9<qDi  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ^-y4X{  
j\8;TOb  
　　cos（2kπ＋α）= cosα %RgyS@0  
oN_ sK%  
　　tan（kπ＋α）= tanα W^,_n;BL  
Q/l$sG u  
　　cot（kπ＋α）= cotα TAnsGJJLJ  
prTmpa  
　　公式二： CdF SzB  
[>IJj{Tn  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sf=rwuQ!T  
E^T3{4  
　　sin（π＋α）= -sinα R=FXu0zHr  
~m)d+o>>  
　　cos（π＋α）= -cosα r<D:[  
:a$]z_  
　　tan（π＋α）= tanα QM`:['L  
f<o j  
　　cot（π＋α）= cotα ^pAy{Eln  
i27c<&5q@  
　　公式三： APP %$:B  
P)&D_R&LBc  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： )Lc^ZE  
#cnJa M  
　　sin（-α）= -sinα WSF)\e-2  
<!c)0[6  
　　cos（-α）= cosα %babG"=c  
nR}()%  
　　tan（-α）= -tanα <G cM `f>  
B;@cXcAtc  
　　cot（-α）= -cotα Gn v6 mfk  
!~<[pS3D,  
　　公式四： e~U0[$U  
8V|iO<5  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： _eHh%i  
kU}H>J}cs  
　　sin（π-α）= sinα -WK/ X6s  
rEisy1Q]>Z  
　　cos（π-α）= -cosα *t 'PJO  
3 pvOF  
　　tan（π-α）= -tanα %tQy*"yyF  
\j(nj$~ADW  
　　cot（π-α）= -cotα :3FYuYE  
Rp?K2GEh  
　　公式五： >Sj0i|M  
vK*WI\T T  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： W}Y_U4KY  
=M1&B~>  
　　sin（2π-α）= -sinα T$av;:LJ  
s z CjC  
　　cos（2π-α）= cosα eAnKc~3x2  
}%c Y;   
　　tan（2π-α）= -tanα ;mD3pZ+\  
|nWnv ';7  
　　cot（2π-α）= -cotα puyK'4  
e T!HbS?  
　　公式六： N:"8@sZ>#  
VkPFrQOx[  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： o\F$2: z  
he^so?&6,  
　　sin（π/2+α）= cosα *hzRB fp  
 [kD-  
　　cos（π/2+α）= -sinα HnoqN1>j?  
sEp22UI<  
　　tan（π/2+α）= -cotα aZ|Q|Q'5  
pNK_~z>0Y  
　　cot（π/2+α）= -tanα @y6JOS27>  
i 5^>kD-7  
　　sin（π/2-α）= cosα (Cf=qc  
m<|~8oL  
　　cos（π/2-α）= sinα 9HYV1>7?Ma  
jD&[T(c  
　　tan（π/2-α）= cotα $I@4)#k  
IjGMJKz4  
　　cot（π/2-α）= tanα \0 kc912<  
3zCN4{)  
　　sin（3π/2+α）= -cosα NUR eE"d   
72@Bxr>  
　　cos（3π/2+α）= sinα e+3Am]|K  
aVl+z(&y\  
　　tan（3π/2+α）= -cotα g;n>VV>pz2  
'Y*JPf Z  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $Ccr Ujj  
d":/ fIh  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ?4/<yZ  
K~O89v|  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 'nx9tb  
74q#RqVK~  
　　tan（3π/2-α）= cotα ,/CG!]@  
c@ U\jAVze  
　　cot（3π/2-α）= tanα H"\O9giSz  
ggT57Jl;  
　　(以上k∈Z) An|Q5jD>$R  
&>?L&,LbD  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ZWo"Gbl6+0  
rTcCll  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = jbK+;UFT  
4D%u{onH  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } v5a\c5&  
Ekd]Lr>%  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16583) |  收藏