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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 8 dL<'I["  
^-Oz^7p+B3  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. RUJs|  
tlHJ8' s  
　　1、三角函数本质： .N7~R1  
@b!w56N  
　　三角函数的本质来源于定义 `pR ZSD  
GL5qY*}-X  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 T_Xg|JI6  
|]KZE(4Sr  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 dm7b*0Tq|7  
}Yr)@ 6Kd<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： P8V+NZU  
:iysx1v  
　　推导： _K'Qc 6  
"}"T  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 p/$VsUO  
4<| o= qo  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) w;SvNIV  
TqrI@<]4^  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) WMII]  
\%JZj (o  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 7n:m]N]  
Uq{N W&  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） /tI4~Ju  
X.@>E~=F  
　　[1] C)d_tL  
OOO"#)w)  
　　两角和公式 WUJU\Pt=  
6gzd ./  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB YD3Vl!f  
hxP& I~3t  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  _tG]Manim  
yfe`Cj  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB >"Chhq,  
3GhJZzF[  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB PE_KYP2  
IPPBG)c\  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) H. *(k4DM  
d:Tz>Bqd  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Pta_ DZ+B  
v\>?>]{X  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  |NY*:"J  
>,j+u9[8  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) O [j&TX6B  
'aGW  
倍角公式 =v,FT]i0X  
20yMn  
　　Sin2A=2SinA•CosA -n@`  
j 9W6bn1,  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 w$61|Sj4  
]0&byN`o  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） H(w^k!  
],E(2Hdz  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） hDVBeJp  
k){ Vv  
三倍角公式 Z~`6Qa9dbv  
j[\R f6|#P  
　　 m()ln{  
^Vcj`71XO  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) rRM. &  
_-f6b+"D  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) B.. C^+~  
CxOtP (?  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) +lI,o<0|`  
yg6(Y-i  
三倍角公式推导 `nu"26QkV  
e{BcEW  
　　sin3a |m(C cVN  
$t!VsBSl5  
　　=sin(2a+a) 7(V,eSx  
@7|@F<5  
　　=sin2acosa+cos2asina AyrFjtj  
yZh>_NsS  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina V g57!  
m.ud<cSa  
　　=3sina-4sin³a h< ;^s;  
pwo7~+ ]|+  
　　cos3a |N@orb kd  
R^)fr5  
　　=cos(2a+a) ]A2 1dF(  
2EP(L@ox  
　　=cos2acosa-sin2asina Wo('y T]  
p e8f6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa XS?F;u m:  
5B):]CNA)  
　　=4cos³a-3cosa F&?+ v  
:}|piAX-?  
　　sin3a=3sina-4sin³a uKI +`d  
l)y*u@6J  
　　=4sina(3/4-sin²a) o <R}GS  
~}BC_,3vZ  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 8>Bs0\*-N{  
7Zfu9/QBR  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 3"s2G2  
B*}'1fFP  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) |s019nr  
Fg#A57d[  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] &U;(Oj`r\0  
N*> S4y`  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) =:d*r&+A&  
g.T~  
　　cos3a=4cos³a-3cosa S%-CI1e{<  
tz+zUBf+  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Z>,[P;}0v  
"-\V X$  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] (rs,D2.Q0  
how. f<  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) %Vn%BF  
CP)}lQ'cM  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 19ez 9U"  
rB & a\,l  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} )^ t3iofH  
E!:NFb:  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) l87?h4_:7  
Ta/tCNs 7:  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] s-b%/ %y  
I/]$ `Gm  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3E qNL  
P3;lA?+E  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) u TSor),  
HLn qV-=`\  
　　上述两式相比可得 fX^rVGCvm  
!<4rwBF  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) D^uEVU+  
{Q Nz$z  
半角公式 |06MR xa  
k6R.1Un-  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); '[g%H}W I}  
r` @6(>cA(  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. wF1V>LX  
wT9{p5fL]  
和差化积 H5 YS$7X(  
1bJ!_'}J8  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :r!FY~sN2  
oz <q.!S6  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] o,+* B&?i  
,>HyO J  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3R'lt9C  
0P4V!clr"  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] JCYhvQCVk  
|i XC?4  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Q: .7Whs  
kDU[kb  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) cf35r  
~*)`?r%S  
积化和差 nN-x^J|:  
1 d vt[mw/  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] nE_{;VR[  
\'~!`ztI  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] :24V}j  
W!6OEgm  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] O- }E:fOEE  
hhAL`W8w  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] dwqeG"muj  
k^V8[Y9  
诱导公式 gNyVn*t5  
3o, D6C"T  
　　sin(-α) = -sinα </K9@JY  
wc@ lA^  
　　cos(-α) = cosα &YN9et3  
b0} zC O  
　　sin(π/2-α) = cosα  >2q 2n&4  
t{DH>|k   
　　cos(π/2-α) = sinα &KP=xX\y  
6~-$#E=  
　　sin(π/2+α) = cosα l @;= ]  
2)g58QdC  
　　cos(π/2+α) = -sinα 6ad?X6gu  
Qh>i7  
　　sin(π-α) = sinα ,:#eL1~  
'P-C:+~+o  
　　cos(π-α) = -cosα j2yG PM ~  
#9'bVBGc  
　　sin(π+α) = -sinα 3i)TcGU  
6U3 \\5  
　　cos(π+α) = -cosα Ecn80S 6  
++at<bxJg  
　　tanA= sinA/cosA _YCuT?d  
&y nfLA!h  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα rIFL1A{  
`Tc-?yK  
　　tan（π/2－α）＝cotα S;Y$jcB6N  
L`U,UZun~  
　　tan（π－α）＝－tanα U7G\$>(  
~\FB*  
　　tan（π＋α）＝tanα I17zek8  
[ -lQ-  
万能公式 a%ju;`  
40{A"D#S  
　　 r&v#u=  
T&8 'f2  
其它公式 ^mWm!Z  
&$.k<6V'X  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1  qqgzDm  
ScXM;8  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 *&w<u6%SV  
}SPnZu ^  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 W-z.= B'  
,;5 Mc=3~  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 8{C\   
<@+ $*@+H  
　　对于任意非直角三角形,总有 ^O[W/xvWF  
(~}}y|[6bn  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7I8YO f3V  
JT!N=~O0  
　　证: M>g4>i.  
*:MZ$7Cs  
　　A+B=π-C 7_ hf{E[Q^  
{+ TXKV  
　　tan(A+B)=tan(π-C) s ~~ ru@%  
By_$v0nX  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Q60/\VJh  
Tv$j s?%)X  
　　整理可得 oaA;QR  
f2*_PL:  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Y P8kxLUb  
LK6Ii$9hj  
　　得证 xF.Y@F"A  
z`nh)3  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 U0/!wFc*  
(Zog.*  
其他非重点三角函数 xs}9qms,  
 b.9,[,e  
　　csc(a) = 1/sin(a) dDkBf  
3sbU(u,oQ  
　　sec(a) = 1/cos(a) ghAQ+Xl'  
 5ui'VB\  
　　 SJi-J }  
E~5I C1B  
双曲函数 fAKrjN  
Ob'$ 9#  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 }R>//H1[  
!VX8~Z&f  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 UMn%%U,) '  
0!+W&$MPX  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ~HDcqn1  
]irN#! /9  
　　公式一： U eYhQYo  
$PUT^*T%=  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Ia+B-S['F'  
-*B<&GX  
　　sin（2kπ＋α）= sinα VAY[Ji  
S(/k [0[   
　　cos（2kπ＋α）= cosα Uk yp5QJ$+  
g_Ds<$"  
　　tan（kπ＋α）= tanα }z0K3j^|  
J ;8e6)=R  
　　cot（kπ＋α）= cotα M3 ay}2T  
VG]yVy>1^  
　　公式二： Z'B;N!=  
>[]K6@+)  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ph52f(6y  
dh}/e5x  
　　sin（π＋α）= -sinα mn\FfYcn M  
G1??DzF  
　　cos（π＋α）= -cosα !LIX(zu Y  
-+vp$q  
　　tan（π＋α）= tanα ZdA.|A.g  
ZmSl6>_M  
　　cot（π＋α）= cotα r_UgkF. ,  
zFoE5`,  
　　公式三： h 6u~VK  
yP,d]S*w  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： W &P@%#/  
ns.Ol+uI  
　　sin（-α）= -sinα 3hSdL  
VHr/Y7Z  
　　cos（-α）= cosα t,%tG!S,  
Y"(l~a  
　　tan（-α）= -tanα Y3yLBo6ZL  
TPlY ;*A  
　　cot（-α）= -cotα |"9$^D/x  
C$Qf.RQ?i*  
　　公式四： MCbgqiiDQ  
pe y HXc~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： O+ncs(  
:7G Lufr{  
　　sin（π-α）= sinα DPl)*w=F>  
&],&q*{\  
　　cos（π-α）= -cosα Tio -e?NVD  
'Y"YJ'"*;  
　　tan（π-α）= -tanα bEu45Q j  
_LD^P4$l  
　　cot（π-α）= -cotα eeZo.po  
.]O iPnU[  
　　公式五： ,R{&Tk|vSk  
;`d=ZbZc  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： e#loHP;  
B@H\CGh  
　　sin（2π-α）= -sinα l*).XL <@  
%b7k!$s  
　　cos（2π-α）= cosα 3C0z^  
_ )!|))  
　　tan（2π-α）= -tanα 9 Y|8*N  
#[gr6  
　　cot（2π-α）= -cotα ,yK|q7Nu  
L]jR,LF=q  
　　公式六： A T[ ;6  
b+7aJ'@  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： W?gqa  
#7 hErwo[  
　　sin（π/2+α）= cosα 0TUd 0B`?  
+y)h|1d  
　　cos（π/2+α）= -sinα p+R<o& w  
GMV &d!  
　　tan（π/2+α）= -cotα @(,w FQK  
Vn?@ 7#eO  
　　cot（π/2+α）= -tanα TI+NVSfp_  
r,bUM|`)2  
　　sin（π/2-α）= cosα 9JzYhlS  
)i*AXI#J&*  
　　cos（π/2-α）= sinα :^64Q{)  
JLVsYpK;U  
　　tan（π/2-α）= cotα 'FqA FM  
*;=_$Luj  
　　cot（π/2-α）= tanα j /Bw\%Xf  
sV' 7Pb l  
　　sin（3π/2+α）= -cosα p jSm]  
9 v1P &(d]  
　　cos（3π/2+α）= sinα 4a+KS6}R  
za[6zN^*!  
　　tan（3π/2+α）= -cotα <w{a Bl\  
([MZ  
　　cot（3π/2+α）= -tanα  pNuTi  
-^a.!k3n  
　　sin（3π/2-α）= -cosα $8/y)8+^  
@/T%~fx&1]  
　　cos（3π/2-α）= -sinα s& Aqj\a]  
:e?dL{L  
　　tan（3π/2-α）= cotα v1 &   
>!/C0cRkF  
　　cot（3π/2-α）= tanα JN&A`yE|5T  
QoH9~ WwH  
　　(以上k∈Z) a{5sfS@  
m /w VY#R  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~L'zj_H@V  
$p\-KL;&@4  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = tsj@_&bo!  
d KhD+  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ]rPDPz  
d/|l4*Sb,  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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