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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 uqz}SB+e  
pqN4h`x5  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. HG Dqg3;t  
mo575Od-  
　　1、三角函数本质： 4267^;v  
KmE4:[Ll"s  
　　三角函数的本质来源于定义 ( |gm>)  
!kkaV H  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 |WkCx.gn  
^WnfM d:C  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 mNYY'fyT  
:?`L9 B  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： lgt>^"w-  
O=&`MlG^  
　　推导： 6!5lU ^  
iFPof>U8[  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 5_%Z3s.b:  
X Ie,CQ&  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) bG4}X]D<  
FmHu1 Uv  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 6_6DM-b  
O4n:GrgCz  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 +gOBOn=R  
=uBb@X!K  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 4?/'> h  
f1ryn*!;)  
　　[1] ["`$D/:{  
&)|a<Jx~  
　　两角和公式 '2/z1O6[z  
{A#f)KP*=  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Kg#M4,`s  
3"=-dsOk5Z  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  {F`q o`  
(d a`XaN  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB y~0r7'?R  
nV%"ek  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB WzXb=-@T  
<1z1H mAB  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) #O$HOOg  
/! eja8_A  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) &FkJDgM  
/)0D:A3>r6  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ~ l[ cwZ  
8,\[{= 7b  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) +&ZrrqP:e  
3%VK9s) S  
倍角公式 AxsL   
?+dm?  
　　Sin2A=2SinA•CosA 6>}462  
eEA5_W "  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 i 6m  
U\Q-Zc}  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） E*l/  
I [ I 6  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） u.]@jJoE  
U &WW2"  
三倍角公式 %nx]3i\b9  
v~^8M^  
　　 Bo~=Dn-  
P9Rl^)E  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) S6j ^;  
1//0v i   
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) vKTq>\C%Z  
GL9 x7  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~(F|xxW~  
-%XhC?SA  
三倍角公式推导 9WF403[t  
D.@7f$m`.  
　　sin3a Q]2-z;q&[o  
L8 0If  
　　=sin(2a+a) [R/nnhO  
9?S0r:L  
　　=sin2acosa+cos2asina ((QcS25  
1e{sbcq7  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina roUSn'x  
8s*)8  
　　=3sina-4sin³a ]#>|tXsey  
OxH#@:  
　　cos3a `N\L]<Lr  
E fqP#6:  
　　=cos(2a+a) BcLvY:+DS~  
JXO`cksb  
　　=cos2acosa-sin2asina 'gHH)$`c\  
cujbOAb  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 5+YMgb&$u  
6iX}O m  
　　=4cos³a-3cosa |59",UfQe  
,0<[@Dmx  
　　sin3a=3sina-4sin³a 7{Y5J,_  
[= -bQonO  
　　=4sina(3/4-sin²a) }Y5z 1KW7  
cME :,zM@<  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] y{Xi#:V  
4rVu')jF  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) JR<_= ">  
UR=beS  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) qKYOz9s  
v8@e\I1dv  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ,M28,  
:Fft}WX;  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) \q\>wDE  
S/e-bt  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ^/6R]GH-  
c8*u9:J  
　　=4cosa(cos²a-3/4) @h2 m52MT)  
Eq /qv7T$  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²]  @ n<}  
IX ,k)xq  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) tv'I^MlPW  
bJ7q+Ogc  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) }~^{CX@  
WH) EMq6s  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} p%{,/;H  
c6bR)z^L!=  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 23<BKBzE  
HythV5 21u  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] d2V0G  
Zcf~q*.>  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] /T|Qo TJbO  
~5PQOm>  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) U1N ZACNi  
oK=:?rl)j  
　　上述两式相比可得 L~y7B[G=  
OUq-w-gbW  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) "Y(p/YF Ke  
:GH*SJ   
半角公式 bo[*~#-  
n9H$  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); vy!|4 v  
HY` cM  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 9T=/ rbo  
eD?@=s'  
和差化积 "E mp*l ?  
;v@<$  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] vz.n TvQ  
]7lHEe9~  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] FfrA}7F  
%".FDyZ8E  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8&7umVfC  
v; &)|<Ft  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !r7]nh|6  
c-l)=J  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) n } hj=w  
Ax@N4>T  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) <[:S0|  
d;! ~b[  
积化和差 +CEFw'^;  
TYP_/OY%  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Fcs pw  
I(`{OW2  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] t@pzO#  
-\ b{i  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Hy9Br <%  
0j`~~*  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] `]0}6#71  
5v*!yo  
诱导公式 wPtih3(c  
;v kBBt  
　　sin(-α) = -sinα 0$Il\  
>u4"6j*  
　　cos(-α) = cosα lF1M<>Z  
- aS<~l"l  
　　sin(π/2-α) = cosα JYK[4~I%  
j0==}75e  
　　cos(π/2-α) = sinα nY1;Q)[L  
x3"xjDAAp  
　　sin(π/2+α) = cosα D[ZT,Z d  
:^{3T  
　　cos(π/2+α) = -sinα =\-q;zkG  
^CpD0Q+e>  
　　sin(π-α) = sinα 0 u)~Oj\  
o |Ze3HI  
　　cos(π-α) = -cosα v}0E-%Wfld  
YA{76\@;^  
　　sin(π+α) = -sinα a6U?o']zx  
w* H}5c  
　　cos(π+α) = -cosα f'h2 D.N  
5E'9A90-#D  
　　tanA= sinA/cosA 7|XEI  
2 g [0iK  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα >:s c;%C  
INS s'.T  
　　tan（π/2－α）＝cotα A7$)=@XX/}  
HSgg@X-8V  
　　tan（π－α）＝－tanα lKYApQIR  
mmwed2(%4  
　　tan（π＋α）＝tanα Y?@mwG bE  
RO>J$n}  
万能公式 z_Ccj%@L{  
5>cu<j  
　　 r`x'9,S  
NU\!LCPr  
其它公式 \2:9Ro  
a 9]*9  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 kh Sz#L  
<WBnkkO8m  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 T, g_ZF  
=JuG)o:   
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Hd@,J8u  
94+UoHU  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 bc%M}*v\I  
.Ggs<*WF  
　　对于任意非直角三角形,总有 ]Yp4JY84p  
jda1bZ0k  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC H.T|g2Q  
xo#y  
　　证: )~'%yH8  
V@K/^5A:  
　　A+B=π-C !@/U@,`O  
J*i-9  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ,twRcf!E  
2? *6E@P  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) pCTCvg%i3  
'{ "Fl  
　　整理可得 MxGgPpD Y  
i>?f{94  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \[^J#RQHiX  
,O!ON8Q{  
　　得证 5= NYE)}  
BqO3T~>-O  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 g*- ~.k\  
t"a:L*ak-  
其他非重点三角函数 ##`(Kd  
g ~c|: ^/V  
　　csc(a) = 1/sin(a) wa.7J]Yv7  
7 -#WC  
　　sec(a) = 1/cos(a) )o 7[85Z S  
X=@emf\  
　　 9W8zLm_9m  
lVA<7Y  
双曲函数  _jNs}.c  
K,P V1 {g  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 >[g! T  
#FH9l<09  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 v7Wup"SHk  
K%;@Jo\  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 4v~Sqfbl  
%U,#{,[a  
　　公式一： C) g- rD  
vCnyw=  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： )A o.2hJP  
I( sRN  
　　sin（2kπ＋α）= sinα -Tp|K^3  
(|7S)|:A  
　　cos（2kπ＋α）= cosα | yBq|fh  
*sD CA'  
　　tan（kπ＋α）= tanα }iH~)zC:  
 *V{ D]r  
　　cot（kπ＋α）= cotα z4#%]krs  
6?40g 8  
　　公式二： CS P *o  
@6PZ2b  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： NdP#i  
u/fLA7,i$R  
　　sin（π＋α）= -sinα p6b_4|Q,  
91<84x]5v  
　　cos（π＋α）= -cosα kBw*i .Y4  
W3r0cx  
　　tan（π＋α）= tanα Oj{d };W  
b~;.65  
　　cot（π＋α）= cotα 0(c"V:`  
66u8T8Z,  
　　公式三： ni/L6P  
h>]z% {C*_  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： x:yk`  
vd3?Yu u '  
　　sin（-α）= -sinα m% f,S  
s]G(:IIC-  
　　cos（-α）= cosα oY8xi?s  
6Hb1} [R(g  
　　tan（-α）= -tanα i4O3jfKbx  
yxqm/s_V  
　　cot（-α）= -cotα JJICc7fn  
m36`6<t,G  
　　公式四： <;4?$em  
X]aS[  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： WVZe_7s6~  
)3 ZM|9A/  
　　sin（π-α）= sinα 4 ;zG0x~J  
> p 7wb[#  
　　cos（π-α）= -cosα |wma%jXO#\  
ms jVM#  
　　tan（π-α）= -tanα jU3"h  
BSN6mo ]e^  
　　cot（π-α）= -cotα no@l?vp!G<  
>:mtl(=R   
　　公式五： 9%N84LM:/0  
 hMc1 jP  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：  zUHd2R  
(nr6, p0A  
　　sin（2π-α）= -sinα (G$oLbP  
gz!a+,+ Pb  
　　cos（2π-α）= cosα S`nL[-R4r  
~c%v& dh|E  
　　tan（2π-α）= -tanα rXt5Niy{^  
JC&6.yD2t  
　　cot（2π-α）= -cotα =7Pj+U,#  
3U K45  
　　公式六： ZJfR&.>M  
U.%\HN(\  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： -o_?h  
|#^0ALw0y  
　　sin（π/2+α）= cosα V6- H!&  
"]T+   
　　cos（π/2+α）= -sinα P l0qZl``m  
bN#)2_ ]  
　　tan（π/2+α）= -cotα hOC{MX  
A,bi VE e  
　　cot（π/2+α）= -tanα "qCc@R6s  
&%aJ>  
　　sin（π/2-α）= cosα 4]Q("LuM  
O\%W-^m3  
　　cos（π/2-α）= sinα 5C=7([L  
.^df_bt  
　　tan（π/2-α）= cotα Dz668C  
OR]:)W>T8(  
　　cot（π/2-α）= tanα pn?UJ=@  
Xc.`&wbQ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα A3-[,7_HZ  
3gZ$l32#"  
　　cos（3π/2+α）= sinα sqyy[5  
mAT-N8X8  
　　tan（3π/2+α）= -cotα MJA uG  
/cc[+7  
　　cot（3π/2+α）= -tanα R fp@4l  
9Kic/>&H  
　　sin（3π/2-α）= -cosα pH<n,W\1  
'oE 51@1  
　　cos（3π/2-α）= -sinα tm4u"=_  
OZ yS+R"@I  
　　tan（3π/2-α）= cotα G+EBCkK  
'h07l7j)  
　　cot（3π/2-α）= tanα s#pw^vN "  
L$R|VT  
　　(以上k∈Z) )2Pt:r (d  
J#{jZ^?7  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 3ZVmn~Q`  
t_. >d ZB  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = SJ)bd5  
lp+b8H  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } <}S&&ckc!  
EaKiCsjW  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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