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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Fiio8|  
qB# cOeD]\  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. u=Tp'7ec  
IJ{bnG Q ?  
　　1、三角函数本质： ^<V0#O8>  
$DT,E}  
　　三角函数的本质来源于定义 Kv0Y?5k *8  
sbWg-q  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 AM)+S60  
^z]-*d  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 !!'HXK f  
L8$(Dr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： w]~.bf A/  
+b-o.RD  
　　推导： "sSN#Kn  
Bmq37G>~|  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 UUs+-t@a  
%_-X#  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) AL@A=Mi  
aF aoDI^  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 9!<cDo(@q  
EA~M.)+b  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 p\ulD<  
iSQNms=;D  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） S PH,&jVC  
Lu\ P=Qw  
　　[1] fbjcpG+y-x  
Q;)[Hs3  
　　两角和公式 +|7 N[1K~  
'QfpA|f|Z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB p;C>KEWo  
y YA;7@8Sy  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Qh3Mii^oJ  
LS Ejxn  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB G_&X# wb0  
2KA/>YNl  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB EEW1!5{}  
`T*7[$6  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) n x[j.(T  
rT ^Aw?  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) v1FOKw (o  
d {H 6r  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  [R rt6B>  
ft9#56O  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) '^ymW=IR  
gM&*?%J  
倍角公式 P>PPhr~4  
KX]! '6'B-  
　　Sin2A=2SinA•CosA Sr7WpMB   
gX&QH4+Y3  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 RtS( 9! 7  
y#0w   
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 2hs\ _  
1v:xZW/  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） lOZR.?k  
W`0/)F7T  
三倍角公式 * ^WvRm.e  
~ G niE  
　　 jX`#nv=0[  
x~$h~^L4=  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 'hdm35:  
g}-L#l  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) '5a()gL  
u]a`"LRt$  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) %&Dg.P  
4N(Qac  
三倍角公式推导 xL7/:;KG  
rL8O00.  
　　sin3a PHdTch~  
]9SQY$<z  
　　=sin(2a+a) <iuy:*  
Anh>f>pfp  
　　=sin2acosa+cos2asina T(3b"'   
* BmPp  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina +Eq%kB9x"  
\Ir-m  
　　=3sina-4sin³a ){;3 Jf'  
u!6VnSoeB  
　　cos3a Dl;ve<BTY  
|Lo`W]  
　　=cos(2a+a) BTAkN  
[FN]z  
　　=cos2acosa-sin2asina 2|Y~9pXU  
9U"hop&eT7  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa "^k?H~p  
`e+y d:k  
　　=4cos³a-3cosa H<)S8?W4  
pZ#{X2wf3  
　　sin3a=3sina-4sin³a dE8\&Q H  
%9oTZ1U  
　　=4sina(3/4-sin²a) 1#- X_\zn  
9}.iRfH[K  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ;Z[ &zV*1  
MT>+uDXV  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Ai .qk3G  
: ~9}  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) MOXs&_v  
+/px{  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] r2bT}  
NE=`gjO}8Y  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) YXRS.|E~  
lIx'00hOAK  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _1y(f@qZ  
B|woT@  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ?(Z4(\*T7  
lHc]O]P2N  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] [pgCW-ra  
K;`.W   
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) '!+kX35l  
4tItP?@  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) c>V )^8  
5s -(SW`HC  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ChP=+*"Fm  
xAj5`Il\  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) D`"CGl  
z}r"AH[:w  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ^& >fT  
lx7JzjU.  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3{hmVm"s  
s%2P!I" Q8  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) BDG^}5iNP  
+SZ,-_/z  
　　上述两式相比可得 k%p\z,  
{x3\#*u  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) @uDmjKx  
p^Xj.:*fs  
半角公式 dz3C(UdY  
:~lR :  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); KV}RP]L\-  
CX[qB+)9x  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. VwzK<P~   
0LKh*em~9  
和差化积 65%,-Mrd  
=Ip HhD  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^%3 X #g  
}k<s%tL  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4od3{+y<+R  
" +k-fr m  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] L<?6m "L1  
{vC2mR\  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [Vw!:^@;  
ni [ ;r<9  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) h(%Hujc(  
j_7dCGc  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)  Rfi2vS  
v 8?:{4  
积化和差 "b}9&E{{$  
k8C%y*w  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1%*GCRJf  
d-Ds#.  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]nPlnWW[  
&<v0}Q+  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] _ %uDt]tZr  
oa,:3%  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] \ RAZG  
bR.--S,3s  
诱导公式 \>oN(\   
0_LV0$h#<  
　　sin(-α) = -sinα 95R]sp?d'0  
Vw`k+<  
　　cos(-α) = cosα ,ZH {  
3Yr <\"  
　　sin(π/2-α) = cosα DHz D9|%  
o*jt9VC}  
　　cos(π/2-α) = sinα =ypa [`l/  
s{wKu5bm  
　　sin(π/2+α) = cosα 8 O1ip  
v9np%4F  
　　cos(π/2+α) = -sinα : !c$Y=S  
u?? P~{T(:  
　　sin(π-α) = sinα *TvK}uL{N  
&O/i*R^QC4  
　　cos(π-α) = -cosα @u&IPY  
p I.^A(  
　　sin(π+α) = -sinα .HIe4~Z  
rVMz|u5  
　　cos(π+α) = -cosα |MiSS  
m0Owt{68q  
　　tanA= sinA/cosA ^0<,6JqvE  
[C/GJ}#  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα q/=7k1  
e+It>d+Fn  
　　tan（π/2－α）＝cotα *q?w0e9Da  
DF>!rR   
　　tan（π－α）＝－tanα Hx_pG  
[ c0/bZt  
　　tan（π＋α）＝tanα 5zL>aT9|  
B/4;b{b?  
万能公式 8U6VYQ1z  
q?ME_ 8Ze  
　　 _QPh?`y{  
=oyc^u *MG  
其它公式 .%,8p:\  
-V[AR/~`:  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ;umu  
$_i%W z;  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?7!Zs.lU  
H I uJQ2  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 c8Lnf  
&y'R 0s  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 }h9J~o  
M)r>B4!w  
　　对于任意非直角三角形,总有 L>Jt7NNl  
CQmHm`v  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC TU_l?I  
y[Ws|^f7  
　　证: l*2#l)UR  
9+u`Ho3y  
　　A+B=π-C L=V#MihLX  
;jzb#  
　　tan(A+B)=tan(π-C) RA"d%oEs  
Kfr:Uo]F  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) @8E}i1B  
t3 =Qk  
　　整理可得 '<(pVGTg~  
Lt4288  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eF*h J  
Wf6.EGZc  
　　得证 i,:rqCH  
L) RvgQ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 5focZ`  
VvtS'htLK1  
其他非重点三角函数 7C|8`a8V  
"nPN.i41q  
　　csc(a) = 1/sin(a) ;dy'U :N  
r8q~eT/3  
　　sec(a) = 1/cos(a) %)Q!1y7  
n/5Kw.wo  
　　 k=;$?_o  
O[lTkA*uck  
双曲函数  qqaSzD/  
\754@B  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 z 4 jOh X  
xpw*_BTE]  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Z=0&^56lS  
[Gr#  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) k9I7$D@>T  
/ y N D=f  
　　公式一： =]?6,B}n=  
bi{bZHJck  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： V]dm0Jr+  
*@e q2y  
　　sin（2kπ＋α）= sinα I/0@6_:  
rXux^p   
　　cos（2kπ＋α）= cosα $zrhO V4  
1L)(:  
　　tan（kπ＋α）= tanα #tpS:v  
pz vSgNx  
　　cot（kπ＋α）= cotα ?5 M%T+  
IU gu@1  
　　公式二： MNeSJN@(  
GifSn<6EH  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 'LB${bJ)o  
]+{D]_Bn  
　　sin（π＋α）= -sinα .(~/K>zy  
M_[d$i  
　　cos（π＋α）= -cosα !fl@4a5H4  
vbNFE39ND  
　　tan（π＋α）= tanα q5a!Zogu  
mky!CQ  
　　cot（π＋α）= cotα q:9rBej D  
5wKKy'P  
　　公式三： aLZ"zpcp  
qoc,=$=@pP  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： hAB3gX4gD  
M}>baX  
　　sin（-α）= -sinα T:%6V:'o]  
<$Gb sIfi&  
　　cos（-α）= cosα ]*]^`o"n  
A 1FyvC  
　　tan（-α）= -tanα b *tUU&  
`vJ_JL>G  
　　cot（-α）= -cotα D[w^1T  
$ud D  
　　公式四： BR pd vFi  
&<,FA {  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： C9X]c  
 nKgv  
　　sin（π-α）= sinα q_.*/s:  
XCBO= '>  
　　cos（π-α）= -cosα I%GoH=9  
Q 5g){(  
　　tan（π-α）= -tanα TsAO 3CaL  
/iY^{QM#  
　　cot（π-α）= -cotα cDA,P*g+<u  
t1P#BoN=2  
　　公式五： r7T*nPk~i  
$5oGwi TV  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： r(s{637[0  
uJez Hi:i  
　　sin（2π-α）= -sinα <3qw,w#$  
B44?\mD  
　　cos（2π-α）= cosα '4~t#-*&AO  
2ZB$w |AK  
　　tan（2π-α）= -tanα 5?Q%Xkua`  
t/M9=;  
　　cot（2π-α）= -cotα l2z~u@r;Bs  
EC>Q($"uK  
　　公式六： $|NDXn_s  
R$*&s  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： N(S!*oY  
pR`B\.  
　　sin（π/2+α）= cosα _2p~z1J  
!f[fq7C  
　　cos（π/2+α）= -sinα {#!hr>IV  
l {<s sb  
　　tan（π/2+α）= -cotα U0(9l  
fK?3sE  
　　cot（π/2+α）= -tanα 1cb]SPD?W  
?qPVB.g  
　　sin（π/2-α）= cosα 2!E{2He#N  
wiUc)fItF  
　　cos（π/2-α）= sinα *C=WWUy_  
QY1LAO@  
　　tan（π/2-α）= cotα P{ w69=&z`  
\?_9a"G7W&  
　　cot（π/2-α）= tanα <[lQG&  
y ]0ikj W  
　　sin（3π/2+α）= -cosα /Zdzr=|  
MKK'D+ U  
　　cos（3π/2+α）= sinα ~h~~c;e  
emNOI+F  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Z`/ai[#  
bva.4  
　　cot（3π/2+α）= -tanα &Nn~m:  
hn$N/25Zr  
　　sin（3π/2-α）= -cosα a'k<]f   
Y3:j   
　　cos（3π/2-α）= -sinα QS {  
+ArnG^  
　　tan（3π/2-α）= cotα z"\2DTnG%  
y+ _42qi  
　　cot（3π/2-α）= tanα Z^ vL`S+  
`FgZ>{<^S  
　　(以上k∈Z) xwy fUy  
RHRpcyx%  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 l|GZ2ris  
NR pI~g*  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ;_~7^@>x  
kKAs i  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } JdVgj  
i CEvh`  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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