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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 bQHuH_jV{<  
0Q?uQ}*q}  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. q.MGt+Cj,  
i?n*4<hp  
　　1、三角函数本质： &3KT%g r  
l125d25R1u  
　　三角函数的本质来源于定义 .s&g(Ro Z  
,Sj>^8sDJ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 bF; Gwm  
Up(@^f4  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 gc4(zd  
AHEz5:{  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： m(GI/kN  
+O$Z#s  
　　推导： ["^;c$  
+$+yhR  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 qcqLBO  
dz WtxGW  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) v"6^-6$|  
klY@`q'^  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) {2FD \  
{w7<k19[  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 9S# Jj  
,V/-hbX:  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） u .n# J!  
A!Nopen  
　　[1] {[.e8vES&n  
07B8\m/5\S  
　　两角和公式 6e:K@3`  
:K 1|bR8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB >92yLraW+  
tQKV|uc  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  @db^w\  
aD5nAa;  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Q+68Z a?J  
( 6-/   
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Ro\b^D*  
R8G"55*`  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]F;'2l9F  
M, {gqj3  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) y+@Q0 =  
r1k^X0@3)  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  {Z=,E   
3inzG  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) H>y=Rbb#  
)VGh_4ml  
倍角公式 o! x-vB  
nEPVAw  
　　Sin2A=2SinA•CosA H46L[D vJ  
" smc<=@'  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ?qUX'dm#  
b0ykX%m  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ZaLc` rh  
]s8+lu,w  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 43]Lqp8 V&  
:#29 t/  
三倍角公式 A_qAB&F  
oXEjn`'  
　　 U(- i#bQ  
]v6 Z 77  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |w!fi2^f  
<lKb`/13  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) &rY>\Ib  
6rnuE/  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) %%7lNf!j  
IO$>@" PJp  
三倍角公式推导 eX "YB  
30P]IbMk  
　　sin3a 9<%`#{%  
><(F=9;Qv  
　　=sin(2a+a) {4xxxah [  
2Ek^;<X  
　　=sin2acosa+cos2asina d b%CH  
& EL<)TQ.  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina .Gcqot  
gk(>ht1'6  
　　=3sina-4sin³a Y/oVG H;  
A2.6<^oQ  
　　cos3a nk`0M  
W8e bSFw  
　　=cos(2a+a) d&ep2(z9Z  
Kx .~(g  
　　=cos2acosa-sin2asina 9|!xOq'F  
Qc!*o<  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa yKBW"P  
4\ Hh1L4  
　　=4cos³a-3cosa 0u??AXnpc7  
 exx7EQh[  
　　sin3a=3sina-4sin³a KGK0]$i:h  
HU/. P3Ko  
　　=4sina(3/4-sin²a) +7mkVb e  
SCcJl0O1.4  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 9gf&y<  
wmtN-S{M4  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) A\GUx|iT  
xIMw+P}  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) d#<2 wbl  
:#(q+Nih  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 3B3D@I_^  
9V1h j\`J  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) i|-h=cc7H  
Axquo`  
　　cos3a=4cos³a-3cosa /Ni]vS`H  
"17oDk*4  
　　=4cosa(cos²a-3/4) .rbCP]@  
xD; \|wF  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] @#3#sSI"<  
(RJubX~  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) W=JzM[!O  
RUga~1oG  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 0-@kX  
mo.V8nct<  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} s /f7Z$  
EBQBf G2  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) pU+0/g)|i  
#B88#!OiM  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] A"9{X!c6  
o7Q\ZtZ  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] y$g[hef!@  
XwFR1EA1  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) `fM8jVfTv  
;8Rw$B=8U  
　　上述两式相比可得 O ;S=m  
T Tlw=T^S  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) I DA 7bb*  
;%QXQMs?I3  
半角公式 w[YLjb  
w8 x=8[  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);  &nbm`  
Hyg\F[<nQ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. :ez1?tC  
EJFW]HJ  
和差化积 }, [Zy$N  
daEN?o  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] V];6T(3f  
}%l+ >D>  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] A #ODA"  
8DY*Z#!-  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :#K[g-Sj)  
$f4dUk/~  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] otpe GN  
,\G1a/WE  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) NZa}1c.  
qI.C1DHQ}  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Mpur/)m  
f7Hd=.{B  
积化和差 !i.rn>}  
yZ%5J3z}@  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] evCxu0D  
/D>p5S}j  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] rnf.#?R  
+)U98G 9  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 70*5?nAa  
.@#M<\K:u  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] =goP  
TEy[U\6H  
诱导公式 ak: (ng  
A4E~cR/a  
　　sin(-α) = -sinα Q+4092YD  
4"rZ c(  
　　cos(-α) = cosα :(2a|.  
b1}-% i )  
　　sin(π/2-α) = cosα R0^1< 3)  
,7~D!w  
　　cos(π/2-α) = sinα Xx/A^i  
N;m_jM  
　　sin(π/2+α) = cosα  S@SW!  
K <j3# 6  
　　cos(π/2+α) = -sinα xKhfvmz  
!p_Tdw  
　　sin(π-α) = sinα :k+/PBKLZ  
",1d6k  
　　cos(π-α) = -cosα ;lbUwd%l  
f0<D k9  
　　sin(π+α) = -sinα c^2.[0y  
T+~K&N&V  
　　cos(π+α) = -cosα @'CD# H  
D`{}| I]  
　　tanA= sinA/cosA p+,9/O{3  
?3 w\@t  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα t';/5 \q  
ydUvt@\  
　　tan（π/2－α）＝cotα +fN`XA[9  
Q7_.X2bn  
　　tan（π－α）＝－tanα >q^w/ :L  
RwWouO8&  
　　tan（π＋α）＝tanα ty#;hb8  
2+!$gtdH  
万能公式 36vuSO<4  
KfotJ^X  
　　 l8^  ?%  
&gk/:aX#  
其它公式 pj)OYij*  
N%O *x'rg  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 OV}wAE~u(1  
\=x]o;J*_  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 wW-K]*J  
,VXRz>3`  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Ja]5d:W|-F  
a~u0q##y  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 a3)~NEe h  
!vQ<!QB_  
　　对于任意非直角三角形,总有 rWI{kdd  
Q_&N]=\j  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC nl${g! %D  
eG94^sC  
　　证: T? 9x1.  
)5we)i  
　　A+B=π-C {0}3b)- t  
N3 iA>zk  
　　tan(A+B)=tan(π-C) xBI|-f4*  
I0]J~uM  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 4JHZ R"  
iwd3x*|  
　　整理可得 ZzHiAQ 2u  
XGu)tq  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 3G^ZmG|R  
 m1p(T  
　　得证 /"N ZU0M  
z\ScLR/s  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 V3:vp$  
r o~@?2TC  
其他非重点三角函数 3hH!O,o 3  
h%[\F6b W  
　　csc(a) = 1/sin(a) >>S3oY\|  
;<i M0En1  
　　sec(a) = 1/cos(a) gg/&A3!  
GK^F~vJ2  
　　 ;LSP^8  
jzS_X3.  
双曲函数 rG9/,>  
^:K68N&  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 9geM:3If  
)tZZ{zF  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 >ka$1 I[  
|IKg>C'.  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)  B"P-_J  
1Uc;FPyT  
　　公式一： l$NnF\d  
O-j JI6  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： X#bYc;  
v('0?i0}s  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ANf 0[w  
PwcCXd(  
　　cos（2kπ＋α）= cosα y3~*QK  
Ym7H`7 k:  
　　tan（kπ＋α）= tanα 97Yb>wo{tY  
=.a" jz  
　　cot（kπ＋α）= cotα b.e%`<fDW  
J46(1=+  
　　公式二： V [uc!^  
]Et"*oph-  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： c1~gNy2x(  
s=3}`s7  
　　sin（π＋α）= -sinα 00]z$lc.*  
wq#Q  
　　cos（π＋α）= -cosα f:/QcQVr  
05~fu,dA  
　　tan（π＋α）= tanα j \Q#A.  
%v=4XJ  
　　cot（π＋α）= cotα  qmu9q  
@WlP[gGH  
　　公式三： 5B]|c:c  
M/ p9Sa  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： dQpZ3  
|I|* 2  
　　sin（-α）= -sinα xUa;P*!G  
d%wN$.:<  
　　cos（-α）= cosα Xf|'4)'K  
[6x%8F*%  
　　tan（-α）= -tanα [ !J\f<\  
j5 ^b~ k  
　　cot（-α）= -cotα 571\B:$f  
D7i }N!4  
　　公式四： gVi}"j*  
 gha1`z  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： r"~VZp|  
)B > vo $  
　　sin（π-α）= sinα d}smEX5dJ  
fbj[q  
　　cos（π-α）= -cosα Bp;O$T )  
e2d7 ap  
　　tan（π-α）= -tanα !=Q&HsKX/#  
lJAvV]IQ  
　　cot（π-α）= -cotα d)>G:uX5^'  
0LjOK9|  
　　公式五： a)@:(O&  
h;CF Ar"f"  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： S zDT}oR  
/9(`#}O`[  
　　sin（2π-α）= -sinα uBq"F]u  
J7,k [6`p  
　　cos（2π-α）= cosα 14)lWrT  
0 `eBY4V  
　　tan（2π-α）= -tanα 7$wU-D  
2<-)4+g  
　　cot（2π-α）= -cotα . [2w?w  
+ 9JkVeH  
　　公式六： &<qA EJ  
j jt&.tB}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： *Zd9ojrU  
#S,g4]\  
　　sin（π/2+α）= cosα }-AO($  
O$i{]A }\  
　　cos（π/2+α）= -sinα M>?c6I(nRb  
9_iWS8v  
　　tan（π/2+α）= -cotα f*ww8* (Cj  
 O{UV  
　　cot（π/2+α）= -tanα vY\b[^v  
\lU ;rmD*  
　　sin（π/2-α）= cosα Xm )7pwHK  
=fB=u8rQ  
　　cos（π/2-α）= sinα tZ"[VV)   
q25LN"A:  
　　tan（π/2-α）= cotα o::Xr}V  
C-KjKzA  
　　cot（π/2-α）= tanα fA2;6U<P  
V}LN~<^eX  
　　sin（3π/2+α）= -cosα W j!IrQ  
yPk<(tB]l  
　　cos（3π/2+α）= sinα \NBs6a,Z  
0J5\VO#  
　　tan（3π/2+α）= -cotα B*m 6b9  
KupjH,]n  
　　cot（3π/2+α）= -tanα &1P#lUE N  
H.#i"t_  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ;90bm<  
_^>Ib'T'  
　　cos（3π/2-α）= -sinα %x74WOxd}M  
uFve`iW'|  
　　tan（3π/2-α）= cotα J;i%L tD  
e5uP5  
　　cot（3π/2-α）= tanα F?'kt bLK  
^d!CLe  
　　(以上k∈Z) = O$]qgx  
abw5  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ZEp-)Q}  
F|9Ky-~5  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = J&`%!99\D  
5h<F%c`$z  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } }L\(}TdC  
~?,_>sMF  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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