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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 `AJat.f%Q  
sZx9qq;"  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. d-m)4"#e  
*?+[02V:  
　　1、三角函数本质： * TABA  
?bA+[gyd  
　　三角函数的本质来源于定义 5%V,.d}d!g  
IU1GL) g^  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 G2g3ODHFA  
6@BzI6S{  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 6*'fQbPH  
g9R|te:OO  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： M[;SC8  
I9Sa{g9F  
　　推导： 4Ij'KWkaA9  
o~{4Dc]Io  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 %r!HXMbksh  
 cYy_@K  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) KY #Tm0E  
[I Y y~0$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) j,ZTQ A\  
9@E'DO21nK  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ,@QcEQlsS  
L7fK5EH  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ;|H6+Q y  
p2/HjGCp  
　　[1] 8\.{eeo  
NDUH~D,  
　　两角和公式 D(NnmM  
.hOA&1eyu  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB a8+:fs=  
N.,yHd=P  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  qJWi3$xs  
cTj<7Q[  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _~*5`bq  
lM5b lw  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \0|-qNvd  
v1qu|  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) uANM?c}C  
n}}6N~  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) o<8Vwu  
>yBDAlY  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  i/Vqm>2  
^tD $o$VJj  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) bmV:  
=V}N6la  
倍角公式 u 22?_LT  
onAH&  
　　Sin2A=2SinA•CosA }&v;.4;]=  
h> ZCd  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 t%&zXY>+  
Q$xyh  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） l`*kYRG   
x_dD !yQr  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） z~.1 'Z!n  
p$D?lqs &  
三倍角公式  W<blL7  
s\7`w aY  
　　 C}&' jC9+  
o MPSe  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) oXFc;`i#  
=w$G .f:R  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) T`FiE~+dK  
_2QD!&GO  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 2(Z"HLPi  
k0(%K$d  
三倍角公式推导 +Lv8. A_.  
cqVX6!K9  
　　sin3a >;o2CRQ;  
Xdp~w,KK  
　　=sin(2a+a) g '[14  
7^[ySA`5S  
　　=sin2acosa+cos2asina uMz, 5D  
\|5P,1}K  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina cTa-1  
_LoW3dAN  
　　=3sina-4sin³a  \=\wfHc  
Y@t|tEMQ  
　　cos3a vd#9%tN>  
[eC<v]<G  
　　=cos(2a+a) nzW8P+i#  
<xTfot 98  
　　=cos2acosa-sin2asina TPTbO4&  
H i34Tw  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa uXdx/u&  
W119N:(CK  
　　=4cos³a-3cosa 6+~Y@iC.  
n%Zlf-zq  
　　sin3a=3sina-4sin³a kAckm7r%^  
IJ_# ,>  
　　=4sina(3/4-sin²a) F(5v\d  
^7nYiOn  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Y{? c/  
l\?x @"9  
　　=4sina(sin²60°-sin²a)  "gRil  
l@"  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) )_0mM}  
XjoT_Mj  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] &k3gJLl  
0ouG_Ol  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Y;S d=?{  
n<5 &#{j  
　　cos3a=4cos³a-3cosa CF?o'&  
H=fM7.LNN  
　　=4cosa(cos²a-3/4) XBPcMiwQ  
t]G'/hEhoh  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] \isjC  
')d*@['/V  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) K)<'=D[@  
`xE <cJC=  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) /&>/5;\H  
D"Wu`  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 7PH0TwJ\:  
_VKp#-  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) PE/_E;$  
zT0IM(  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] O<[Hw   
G-)F-o'v  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2CUMe703  
,<CfAqF}M&  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) %4%tB  
T&n6;^#(  
　　上述两式相比可得 IzJ7fDi2R  
g!qvmB0Vf  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) L)2NKoU\  
7 ; Yu  
半角公式 y|{!qNhiT|  
3joVBP  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Xbs8>8]!  
l,YBzK"|%  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. HmaDKKB.  
Nkd v q^  
和差化积 Fr/_@PL  
*nM/(!  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -uR#tQ f  
jD[1{F}[9  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !T=^BSt_  
y7 1~xTL  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] = 5Awhs  
$P7/J$z  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] YU$Ff@|mP  
"t)zhx,@  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) d'z:&PVQ  
6jH5,J&g  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) `"r_^17\  
]5O-`A:  
积化和差 $W osmj{  
{8&{&d  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] DWMfI `~  
c^$#y+#  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sJ}8~\f-o  
UcSe' K  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 2_,AdH/JT  
~~OzWP3  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] @?=+1~^ M  
B5???P>`)<  
诱导公式 P9{kS)  
{to#VZ(26_  
　　sin(-α) = -sinα C1ApvR3  
Tg,gjY.:  
　　cos(-α) = cosα IRigX0'{=P  
3'&)8 3Bj  
　　sin(π/2-α) = cosα )F]{5b!h  
iC m6Cf  
　　cos(π/2-α) = sinα rt]V-2  
hQF08*4Qa  
　　sin(π/2+α) = cosα 0Uvs+o?  
G0>W3>H%  
　　cos(π/2+α) = -sinα w'B,o o  
&=z DhVTn  
　　sin(π-α) = sinα dA`(*^kt4  
k #3W bO  
　　cos(π-α) = -cosα u UN-7b  
cXQTr  
　　sin(π+α) = -sinα jp%]  
g(KxX(8`  
　　cos(π+α) = -cosα IZa } ~~  
1'NZ#LKv  
　　tanA= sinA/cosA ne=JV.+=  
~ tfKU^  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 4nh s Lve  
@95s~ Ue  
　　tan（π/2－α）＝cotα t,9j3+D1O  
ypoV5yC)  
　　tan（π－α）＝－tanα eDA_wP/jd~  
C(&yQGF~m  
　　tan（π＋α）＝tanα $C@A)|6  
^$#O\a  
万能公式 gVp s]rn,.  
VRGTW14  
　　 U>!!I}_\  
Ta'FfbKD  
其它公式 eX5wC#Y ~  
O^T,}35Ea  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 r_!(i?hU  
rQ|k}>1pQ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 w"Bwc}h  
|tkigL#a  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 'j!{M?_r  
 W -D6"v  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 n8$|?BW6iW  
u@ }c~M!  
　　对于任意非直角三角形,总有 p:cpd)1b  
$&VB0\MXr  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )5\}4 .Lp  
pg8t QB5)  
　　证: N%\_ij7  
+:j!JHF(b  
　　A+B=π-C ._i!a  
$*YT]xl  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 6 FC+&R5)X  
:iDJY+q  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 1(W?A  
:?y(j><  
　　整理可得 jyR8hA\1  
h=)YJi`'  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q0r7ms.  
csD  Y  
　　得证 nvoZ/]by  
|-C=KI:r{  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 W,-}n  
u^Y5o.3 B  
其他非重点三角函数 /c?) P^f  
yDi$B|7I  
　　csc(a) = 1/sin(a) U{{YQ9i:  
WgZR^ <  
　　sec(a) = 1/cos(a) ;)'pg HO'  
K[VD=+?jt  
　　 DwCJ"(^;  
?k-SR@?X  
双曲函数 S39_UJ(Y  
5wR y4  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 bbKRO*:X  
~PAi$s#  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 .iMl+e  
__< |T2  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) vux{rSl1  
,v> FTd5  
　　公式一： xHK[ LU  
U3s\j%T?p  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Rcc2z\}  
$"9:7|Z  
　　sin（2kπ＋α）= sinα qu$ (\Ag=  
bSDFn_  
　　cos（2kπ＋α）= cosα xIsx`F?  
o7KBX.+  
　　tan（kπ＋α）= tanα T<^a .L  
`^0X,0e  
　　cot（kπ＋α）= cotα l8SI_]u@o  
A'C N+x_  
　　公式二： S&M> YM  
m*-7AGJn0  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Q& y~L<[m  
;P@q9=']!  
　　sin（π＋α）= -sinα ;vd-J<A?  
<f%FP_  
　　cos（π＋α）= -cosα >%;uk:#(  
jQ 7H=9  
　　tan（π＋α）= tanα 3Y6 )w  
Ic kP /Rd  
　　cot（π＋α）= cotα aU -qqgY  
Z/yN, SP  
　　公式三： 21L($  
zsy-JBf'r  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： AC}mYv"  
oY |Q9r?  
　　sin（-α）= -sinα gE*-U&N?  
^1X~gl  
　　cos（-α）= cosα SXeC$_{`v  
LJTo8$d8  
　　tan（-α）= -tanα 3KjH.u>_O  
h37sYF  
　　cot（-α）= -cotα S*6]J  
4)SlJdE+  
　　公式四： O3w8B 8  
_ sKi)}:  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： P8QC$Z5  
.$tFjv[zT  
　　sin（π-α）= sinα @&C|?j%+E  
&mB/[1  
　　cos（π-α）= -cosα C-GT 4CcIZ  
-)L;Mn~r  
　　tan（π-α）= -tanα nn+@s8p^  
p-lRePvKj}  
　　cot（π-α）= -cotα Wzp1Kr  
%R!2S>,  
　　公式五： qvzfCi>&  
H%i^k'2=F  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： vDu,s3*)  
4'g&b@M !  
　　sin（2π-α）= -sinα WXrhM)O  
`h|E [S  
　　cos（2π-α）= cosα B16^ <I  
; !(AUO  
　　tan（2π-α）= -tanα {Vt,<W  
Z>}fY})`(c  
　　cot（2π-α）= -cotα JiB6rPr/J  
C[o5Yc  
　　公式六： B6Nxyr  
fbj^|M  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： VDkaM;*y;  
P12xx,S"2  
　　sin（π/2+α）= cosα W8;%swv\  
9ni7HhFp  
　　cos（π/2+α）= -sinα Q e6[P R  
"l([A-,F  
　　tan（π/2+α）= -cotα ?50)rZ-1  
LL,~x{ {K  
　　cot（π/2+α）= -tanα TK'NBDQy'O  
T 8*_  
　　sin（π/2-α）= cosα W`qKGx!3 *  
2jX^:/l  
　　cos（π/2-α）= sinα [ 5c;B/>  
I&3(EX[5  
　　tan（π/2-α）= cotα nzP~h8  
K!r q P  
　　cot（π/2-α）= tanα /:NT+E  
hzx+"-p  
　　sin（3π/2+α）= -cosα -{0zC!C  
;Hr5@  
　　cos（3π/2+α）= sinα m'8^Bi  
"gR[(} t  
　　tan（3π/2+α）= -cotα |%a"()|\  
Qs}dc26  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Cla>K~  
_fRl.!b#  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 2N#Xv<i|  
B5|Owc&2  
　　cos（3π/2-α）= -sinα j+s#o@4  
xY 5Pe6@  
　　tan（3π/2-α）= cotα zM/Pf\^  
bKa8e $  
　　cot（3π/2-α）= tanα )^%xK 'R5  
)&{!?S1  
　　(以上k∈Z) GIX1[a>lq6  
7|b_X"GJY  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 6t o&&Iy  
?ArB3   
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = qfS!] O  
j)06^~8)G  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } *oyKL_  
IHnR)=0y  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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